Énigme difficile : le magot des pirates
Énigmes
Par djib le mardi 4 avril 2006, 13:44 - Lien permanent
Il y a 10 pirates sur un bateau. Ils décident de se partager un magot de 100 pièces d'or.
Les pirates sont bien sûr ordonnés du plus fort au moins fort. Le pirate le plus fort doit faire une proposition de répartition du butin. Si au moins 50% des pirates votent à faveur de la répartition elle est accordée, sinon, le pirate est jeté par dessus bord et on recommence le système de proposition et de vote avec le deuxième pirate le plus fort, et ainsi de suite jusqu'a que les pirates arrivent à un accord de répartition.
Quelle proposition de répartition doit faire le pirate le plus fort pour qu'elle soit acceptée et qu'il reçoive le plus d'or possible ?
Hypothèses :
- Les pirates agissent de manière rationnelle et ont tous le même niveau d'intelligence.
- Leur but est double : recevoir le plus d'argent possible et rester en vie.
- Les pirates ne supportent pas les pirates plus fort qu'eux, et donc si ils peuvent jeter un pirate à l'eau en étant sûr que cela ne leur fera pas gagner mois d'argent ils le feront.
Extensions
- Que se passe-t-il si il y a 4 pièces seulement à partager ? (facile)
- Que se passe-t-il si il n'y en a que trois ? (facile)
- Que devient le problème si on change au moins 50% par plus de 50%. (difficile !)
Attention, la solution est peut-être déjà dans les commentaires. Ne les lisez donc pas avant d'avoir réfléchi un peu à cette énigme... sinon il n'y a aucun intérêt et vous n'éprouverez pas de satisfaction personnelle.
N'hésitez pas à poster vos réflexions dans les commentaires, même si vous n'avez pas la solution.
Commentaires
P***** d'énigme...
J'y arriverais :p
On numérote les pirates de 1 à 10, du plus fort au moins fort, du premier à faire une proposition au dernier.
- S'il ne reste que le pirate 10 (c'est à dire qu'aucun des précédents n'a fait une proposition satisfaisante), il prend les 100 pièces d'or.
S'il reste les pirates 9 et 10, le pirate 10 votera contre toutes les répartitions possibles, car il sait que si il ne reste que lui il aura les 100 pièces. Le pirate 9 propose donc la répartition de 100 pièces pour lui et 0 pour le pirate 10. Le pirate 9 vote pour cette répartition et comme il représente 50% des voix, la proposition est acceptée.
S'il reste les pirates 8, 9, et 10: le pirate 9 votera contre les propositions car il sait qu'au tour suivant il a la possibilité de récupérer tout le trésor. Le pirate 8 propose la répartition suivante: 99, 0, 1. Le pirate 10 accepte la proposition car il sait qu'au tour suivant son gain est nul. La proposition est votée par les pirates 8 et 10 (2/3) et est acceptée.
S'il reste les pirates 7, 8, 9 et 10: il suffit que 2 pirates votent pour. Le pirate 7 propose la répartition suivante: 99-0-1-0. Le pirate 9 vote pour car au tour suivant il ne gagne rien, et les pirates 8 et 10 votent contre car leur gain sera supérieur au tour suivant. La proposition est acceptée (2 votes sur 4)
S'il reste les pirates 6, 7, 8, 9 et 10: il suffit que 3 pirates votent pour. Le pirate 6 propose la répartition suivante: 98-0-1-0-1. Les pirates 6, 8 et 10 votent pour car au tour suivant ils ne gagnent rien, et les pirates 7 et 9 votent contre car leur gain est supérieur au tour suivant.La proposition est acceptée (3votes sur 5)
En raisonnant de proche en proche, (je passe les détails), on voit que la proposition que doit faire le pirate 1 est la suivante: 96-0-1-0-1-0-1-0-1-0. Ainsi, les pirates 1, 3, 5 7 et 9 votent pour la proposition qui est acceptée avec 50% des voix.
Heureusement qu'il n'y a pas 1.000 pirates!!
Avec cette proposition le pirate 10 maximise son gain: il ne donne pas d'argent à ceux qui seraient satisfaits au tour suivant, et il donne juste assez à ceux qui n'auraient rien au tour suivant pour gagner leurs voix.
Conclusion: la majorité des pirates est contente et personne n'est mouillé!
Smile : Beuh, je viens de me casser la tête trois plombes dessus et quand tout content de moi je viens donner la réponse tu l'as déjà fait ! Vraiment pas juste :'(
Sinon j'ai bien le même raisonnement que toi et le même résultat, mais j'ai complété un tableau plein de 1 et de 0 pour le trouver
En tout cas excellente énigme, vraiment. Et les pirates c'est des s***** :p
Après vérification j'avais fait une erreur, mes 2 pirates les plus faibles n'étais pas d'accord : Mon quatrième pirate le plus faible s'était trompé dans ces comptes et avait décidé de donner deux pièces d'or au pirate le plus faible alors qu'il lui était plus bénéfique de proposer une seule pièce d'or au deuxième pirate le plus faible, Smile avait donc de toute façon gagné.
Je prendrais ma revanche :p
Bravo à vous Smile et Noé. Je proposerai demain des extensions à cette énigme qui n'est pas aussi simple que l'on pourrait penser.
Bravo!!!
Noé,
J'ai utilisé moi aussi la technique du tableau plein de croix. Je ne pense pas que ce soit la technique la plus élégante et la plus attendue, mais au moins ça marche...enfin... avec un nombre raisonnable de pirates.
Ok, je viens de poster les extensions, la troisième étant le problème original (je m'étais mal exprimé). :S
Je m'y attaques dès ce soir :D
Cette fois je veux y arriver avant Smile :p
Noé,
Pas le temps de m'y attaquer et de rivaliser. Je rentre du travail et j'enchaîne sur une répétition chorale. Et ensuite, je compte bien ne pas avoir à compter les moutons (ou les pirates) pour m'endormir. :P
Vive les pirates d'Astérix, ceux-là au moins ne se posent pas trop de questions
et me sont tellement plus sympathiques !!!
Rien à voir avec les pipi, les pipi, les pirates, que vois-je ??? Michael Jackson en tête de classement >:-(
Comment ??? Pourquoi ???
Merci djib pour ces nouvelles égnimes, j'aime beaucoup celle-ci !
Je ne donne pas chère de la vie future du pirate le plus fort et de ceux qui ont votés pour lui !
Je t'en prie nico.
Je suis en train de chercher d'autres énigmes de ce genre... mais j'ai des concours qui arrivent dans deux mois et qui commencent à me tracasser
Jackie pour ce qui est des classements il dépendent de ce que j'ai écouté les deux dernières semaines (époque à laquelle j'ai configuré amarok, lecteur de musique, pour faire ce classement). Le classement va évoluer au fil des jours.
Sinon il faut bien avouer que Michael Jackson mérite bien son surnom de king of the pop !
petite correction : si on ajoute nothing hillbillies + dire straits + mark knopfler qui renvoient au même artiste, on arrive à égalité avec le roi de la pop. Ce dernier n'est-il pas aussi la personalité la plus bête de l'année selon les sondages américains ?
J'aimerai bien voir ces sondages... :S
Sinon bravo, je vois que tu es quelqu'un de bien qui aime les vrais artistes
Une réponse, en utilisant la même chose que la dernière fois mais avec plus de 50 % :
Les répartitions sont du plus faible au plus fort.
Le plus faible : il prendrait 100
Deuxième plus faible : proposition refusée donc il accepte la proposition de 3 quelle qu'elle soit pour ne pas se faire jeter à l'eau.
3: 0-1-99
4: 1-2-0-97
5: 2-0-1-0-97
6: 0-1-2-1-0-96
7: 1-2-0-0-1-0-96
8: 0-0-1-1-2-1-0-95
9: 1-1-0-0-0-2-1-0-95
Le plus fort, après avoir longtemps réfléchi, propose donc de répartir l'argent ainsi : 2-0-1-1-1-0-0-1-0-94
J'ai pas vérifié qu'il n'y a pas d'erreurs.
J'ai pas vu d'erreur. Ca fait longtemps que j'avais fait cette énigme et je n'ai pas recommencé mais le résultat me semble familier (il y a pas que des 1s ^^)
Je vais refaire l'énigme dès que je trouve un peu de temps et je comparerai.
Disons que dans ce système à partir de 6 personnes on arrive à certains choix, payer le 9eme 2pièces ou le 7eme (2pièces également), ce qui ne change rien pour celui désirant le butint mais les choix se représentent le long de l'enigme. J'ai supposé que tant qu'à faire autant enrichir le pirate le plus eloigné de son rang (le plus faible) et j'obtiens ceci :
10eme : Il reçoit 10 pièces d'or car il fait la proposition vote pour et représente 100%
10
10eme 9eme : Le 10eme refusera toute proposition car il sait qu'il aura plus au tour suivant, le 9eme propose donc la répartition suivante pour que le 10eme accepte et qu'il ait la vie sauve.
10 0
10eme - 9eme - 8eme : Le 10eme ayant tout le pactole au prochain tour il refusera toute offre, le 9eme n'as plus rien à gagner dans les tours suivants et accepte donc la moindre rétribution. Le 9eme et le 8eme sont d'accords et représentent 66% des voix.
0 - 1 - 9
10eme - 9eme - 8eme - 7eme : Pour obtenir plus de 50% des voix il doit satisfaire le 10eme qui ne gagnerait rien au tour suivant et le 9eme qui gagnerait 1 piece. Il propose donc ce qui suit :
1 - 2 - 0 - 7
10eme - 9eme - 8eme - 7eme - 6eme : Le 6eme doit réunir au moins 3 voix tout en sachant que le 7eme refusera toutes les propositions (ne dépassant pas 7pièces d'or).
2 - 0 - 1 - 0 - 8
10eme - 9eme - 8eme - 7eme - 6eme - 5eme : Il faut maintenant 4 voix pour avoir plus de 50% des votes, le 5eme propose donc la répartition suivante.
0 - 1 - 2 - 1 - 0 - 6
10eme - 9eme - 8eme - 7eme - 6eme - 5eme - 4eme : A lui de savoir s'il prefere en donner plus au 9eme ou au 7eme (pour obtenir sa voix manquante), les deux étant dans la même position à ce moment de l'histoire
1 - 2 - 0 - 0 - 1 - 0 - 6
10eme - 9eme - 8eme - 7eme - 6eme - 5eme - 4eme - 3eme : Il faut à présent 5 voix pour dépasser les 50%
2 - 0 - 1 - 1 - 0 - 1 - 0 - 5
10eme - 9eme - 8eme - 7eme - 6eme - 5eme - 4eme - 3eme - 2eme :
0 - 1 - 2 - 0 - 1 - 0 - 1 - 0 - 5
10eme - 9eme - 8eme - 7eme - 6eme - 5eme - 4eme - 3eme - 2eme - 1er : Il faut finalement 6 voix pour dépasser les 50%
1 - 2 - 0 - 1 - 0 - 1 - 0 - 1 - 0 - 4
Ca me semble juste pour ce qui est de l'énigme avec "plus de 50%". Bravo !
Et au passage je suis partit sur 10 pièces au lieu de 100 >_<
(Et encore je viens seulement de m'en rendre compte...)
Que d'emportement
Ah oui, j'avais pas vu non plus
Il y a une erreur dans le dernier raisonnement, enfin, disons plutôt une incohérence par rapport aux règles qui prête à confusion.
Un pirate par définition cherche à gagner le plus d'argent. Mais dans un cas ou l'on peut donner les deux pièces soit à un pirate, soit à l'autre, le priate acceptera t-il de gagner un pièce quand au tour suivant, il pourrait en gagner soit zéro soit deux ?
Si on part du principe qu'il cherche à s'enrichir, tout en tuant un maximum de pirates plus fort que lui, va t-il choisir une pièce d'or sûre, ou bien 50% de chance d'en gagner 2, et d'avoir en plus balancer un pirate par dessus bord ?
Cela n'est pas évident, et complexifie le problème si on part du principe qu'il choisira la deuxième solution.
Je n'ai pas compris à quel raisonnement tu faisais référence et d'où tu sortais le « il pourrait en gagner soit zéro soit deux ». Peux-tu préciser ta pensée ?
Je fais référence à la deuxième partie de l'énigme, comment répartir les 100 pièces d'or s'il faut plus de 50% des votes.
Comme dit dans le commentaire numéro 19, on arrive parfois à des choix, entre donner des pièces d'or à un pirate ou un autre, ce qui, à une étape donnée, ne changerait rien.
Exemple : l'étape avec 7 pirates. On a le choix entre donner 2 pièces au 9eme ou au 7eme. Seulement, si l'on se trouve à l'étape avec 8 pirates, et qu'on propose une pièce au pirate numéro 9, il ne sait pas encore si, dans le cas où il refuse, il aura 2 pièces ou aucune au tour d'après.
Je comprends mieux ton point. C'est bien vu ! Il faudrait préciser que les pirates préfèrent le gain immédiat d'argent.