Énigme mathématique : 0.9999999999... = 1 ?
Énigmes
Par djib le jeudi 20 novembre 2008, 20:49 - Lien permanent
Une petite "énigme" qui n'est est pas vraiment une et qui inaugure la session des Énigmes mathématiques.
Est-ce que 0.9999999... (à l'infini) est égal à 1 ?
J'ai pensé au moins à 4 réponses, certaines que je "préfère" personnellement.
Et vous, quelle est votre réponse ?
Attention, la solution est peut-être déjà dans les commentaires. Ne les lisez donc pas avant d'avoir réfléchi un peu à cette énigme... sinon il n'y a aucun intérêt et vous n'éprouverez pas de satisfaction personnelle.
N'hésitez pas à poster vos réflexions dans les commentaires, même si vous n'avez pas la solution.
Commentaires
Ça viens foutre quoi sur le planet libre ?
En effet ça n'a rien à faire sur planetlibre...
Cependant, pour répondre à la question, c'est oui.
0.999(à l'infini) = 1
c'est un fait, c'est comme ça, faut vous y faire, voilà.
Oui, car :
∀(x,y)∈ℝ, x≠y⇒∃z|x<z<y
Or, ∄z|0,999...<z<1, donc 0,999...=1
Ou tout simplement la preuve :
Soit a = 0.9999999....
10*a = 9.999999...
10*a - a = 9
9*a = 9
a = 1
La réponse est bien évidemment non... même si la démo de TaXules est très amusante elle ne reste pas moins qu'un leurre mathématiques...
Ça *tend* vers 1... mais ça ne l'atteindra jamais, par définition. De même, 0,33333... ne sera jamais qu'une approximation de 1/3, quel que soit le nombre de "3" après la virgule.
... Je ne vois vraiment pas pourquoi cet article est paru sur le planet-libre... Je n'ai pas mis le tag "Logiciels Libres" qui sert à publier mes articles sur le planet...
TuXules, bravo tu as la démo de classe 2 sur 4 (4 étant la meilleure que j'ai trouvé pour l'instant).
®om, quand tu dis : ∀(x,y)∈ℝ, x≠y⇒∃z|x<z<y, c'est quel axiome ou quel principe mathématique ? Il ne me semble pas que ce soit la définition de l'égalité... ni une conséquence triviale. Pour les entiers par exemple ce n'est pas vrai...
∀(x,y)∈ℝ, x≠y⇒∃z|x<z<y, ça dit simplement qu'entre 2 réels distincts, on peut toujours en trouver un entre les 2 distincts des 2 (par exemple leur moyenne). Évidemment ça ne fonctionne pas avec les entiers.
Sympa la démo de TaXules.
Effectivement, la densité de ℝ permet d'appuyer ton écriture. J'accepte :D
Ah donc si l'univers te proposait de multiplier toutes tes capacités physiques et cérébrales par ce nombre une infinité de fois + te propose un carambar si t'accepte tu dirais oui ? (vu que ce nombre est "égal" à 1)
Je n'ai pas bien compris ta remarque Arsenic, mais une infinité de fois un truc qui tend vers 0 c'est pas bien défini... Par exemple la somme des 1/(2^n) fait 1 alors que 1/2^n tend vers 0.
1/3=0,3333...
en multipliant par 3 de chaque côté de l'égalité :
3*1/3=3*0,3333... et donc :
1=0,9999...
Bien joué Carl. C'était ma démo "1", certes la plus simple, mais aussi la plus contestable, ou tout du moins la moins convaincante pour quelqu'un qui ne veut pas se laisser convaincre :D.
Il reste une démo qui utilise des résultats de terminale (voire avant).
Pourquoi une démonstration simple serait-elle plus contestable qu'une autre?
Carl, je lie mes deux affirmations par un "mais" et par par un "donc"... n'y vois donc aucune relation de cause à effet.
a = 1 - 1/(10^n) quand n -> infini.
Jamais égal à 1 mais dont la limite est 1 quand n tend vers l'infini ^^.
Sinon je plussoie la densité et je trouve la démode TaXules sympa =).
Et voilà la dernière que j'attendais : la série arithmétique :D Merci !
Ce serait pas plutôt une série géométrique ? =)
(j'ai trouvé cette formule de a en faisant somme de 1 à n des 9/(10^n) et pis le résultat trouvé était tellement évident que j'ai eu honte de moi :D).
Donc tes 4 démos se résumeraient à :
Densité
10a - a = 1
1 = 1/3 x 3
et la série ???
J'avoue que je ne me serai pas creusé autant la tête pour ça xP. Mais intéressant ^_^.
Euh oui... oh pétale j'ai honte !!! Ça m'apprendra à poster des messages à la va-vite en rentrant du resto d'entreprise.
Désolé de vous le dire mais vos démonstrations sont fausses ....
- la limite est 1 mais elle n'est jamais atteinte
- 10*a-a est différent de 9 car 10*a est différent de 9.99999... même s'il tend vers cette valeur (limite)
- 1/3=0.33333 est faux car non démontré. cette version dit juste que si 1/3=0.333... alors oui 1=0.9999... mais ça ne dit pas du tout que 1/3=0.3333... ça ne fait que déporter le problème.
- celle de ®om reste la plus probable à mon sens...
Peux-tu alors me démontrer que 1/3 n'est pas égal à 0,33... ???
De même 10a-a est bien égal à 9,99... (cet démonstration est même dans un livre de 2nde !)
Titeuf, la limite est atteinte :D quand tu parcours la moitié de la distance entre deux points, puis encore la moitié de la moitié, puis encore la moitié de ce qui reste... tu finis bien par arriver au deuxième point... Plus mathématiquement parlant, si une somme tend vers une valeur à l'infini, alors la somme infinie *vaut* cette valeur.
1/3 c'est 0.333 par définition du développement décimal. De même pour 10*a-a...
Je suis d'accord avec toi que celle de ®om est assez indiscutable (densité des rationnels), mais les autres n'en sont pas pour le moins justes.
Bien évidement:
0,999999999 (infini) =1 !
Toutes les démonstrations précedentes sont justes!
Une autre méthode serait de parler de différence entre 0,9999..... et 1:
Entre O,9 et 1 il y a une différence de 0,1!
Entre O,99 et 1 il y a une différence de O,O1
etc......
Comme on a une infinité de 9, il est impossible de trouver une différence entre 0,999999..... et 1,0000000......!
Il n'éxiste pas de valeur pour laquelle on pourra dire: il y a une différence de 0,00000.....0001!
A++!
Oui, c'est 'avec les mains' l'idée de ®om.
Je ne suis pas d'accord.
L'exemple de la distance est faux également !
Prenons le problème dans l'autre sens.
Si l'on parcours la moitié d'une distance, il reste la moitié à parcourir.
Puis on parcours la moitié de ce qu'il reste. Il reste donc un quart à parcourir.
Et ainsi de suite, mais il restera toujours quelque chose à parcourir ! Donc on n'atteindra jamais le deuxième point !
Donc 1 != 0.99999999...
CQFD
Maxime, ton raisonnement n'est pas tout à fait juste. Une voiture qui va d'un point A à un point B passe par une infinité de points en un temps fini. À vitesse constante, si on considère qu'il lui reste toujours la moitié de la distante restante à parcourir, elle parcourt des distances de plus en plus petites dans un temps de plus en plus petit : le temps et la distance restante tendent vers 0, mais pourtant comme je l'ai dit plus haut la vitesse est constante. Donc il existe une durée telle que la vitesse multipliée par cette durée soit égale à la distance AB.
Une démonstration sous un autre angle : tu veux parcourir une distance d. En admettant qu'on ne puisse pas parcourir cette distance d, car il faut déjà passer par d/2, alors il suffit de se dire qu'on veut parcourir 2d pour atteindre à la première itération de ton raisonnement 2d/2 donc d.
Enfin pour en être encore plus convaincu, si je te donne une claque, ma main part d'un point A pour aller sur ta joue : si tu veux on fait l'expérience, mais je convaincu qu'elle va t'atteindre.
Si tu n'est toujours pas convaincu, lis cet article de la Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A...
L'article wikipedia anglais est plutôt pas mal détaillé par rapport à celui français : http://en.wikipedia.org/wiki/0.999....
Très intéressant ! Je vais me cultiver ce week-end !
AH AH !!!
Beaucoup de " totologismes" dans ces commentaires !!!
La confusion vient de l'écriture abusive 0.9999..., et de l'amalgame entre les éléments de la suite avec sa limite.
En écrivant les choses rigoureusement:
0.999... = lim ( 1-1/10^n ) quand n--> infini
Aucun doute que c'est égal à 1...
@ djib : tu te trompes en affirmant que la limite est atteinte, car il n'existe pas d'éléments n tel que 1-1/10^n = 1
CygnusB, je parlais en l'occurrence de la flèche : physiquement la limite est atteinte à l'infini.
D'autre part je suis convaincu que toi tu parlais de "tautologismes"... qui n'ont rien à voir avec Toto.
Comme je suis très susceptible moi aussi, je te réponds que j'ai bien écris "totologisme", dont la définition est:
"zéro plus zéro égale la tête à toto".
Je sais, c'est nul, mais c'est une blague de profs de maths...
Tu m'avais mis un doute et j'avais été obligé de vérifier