Énigme moyenne : nés le même jour
Énigmes
Par djib le lundi 5 janvier 2009, 19:18 - Lien permanent
La question est simple : à partir de combien d'élèves dans une classe a t'on plus d'une chance sur deux d'en avoir deux qui ont leur anniversaire le même jour ? Une justification précise est demandée.
Même question pour plus de 99% de chance d'en avoir deux qui ont leur anniversaire le même jour.
Bon courage.
Attention, la solution est peut-être déjà dans les commentaires. Ne les lisez donc pas avant d'avoir réfléchi un peu à cette énigme... sinon il n'y a aucun intérêt et vous n'éprouverez pas de satisfaction personnelle.
N'hésitez pas à poster vos réflexions dans les commentaires, même si vous n'avez pas la solution.
Commentaires
ben je dirais qu'il faut en avoir 365/2 soit 182.5, donc 183 pour que statistiquement la moitié des dates du calendrier soit "prises" par un élève.
Donc le 183ème se retrouve avec 182 dates prises et 183 dates dispo
Et le 184ème a un peu plus d'1 chance sur 2 d'avoir un copain né le même jour que lui puisqu'il y aura 183 dates prises et 182 disponibles.
En revanche, dans le cas des années bissextiles, c'est le 185ème qui a *plus* d'1 chance sur 2.
Cela dit, ma femme étant institutrice, elle mourrait sur place si elle avait une classe de 180 élèves !
Pour + de 99% de chance, ca devrait être 365 ? ou 366... en tout cas beaucoup trop
A mon humble avis de non-matheuse
,c'est complètement faux.
C'est une distribution des âges possible mais très peu probable. Si on prend 182 personnes ce serait extraordinaire qu'elles soient toutes nées un jour différent!
La réponse doit être plus proche de 30/35, pas vrai djib?
Renaud effectivement ton raisonnement est faux... mais pourquoi ?
Jackie, tu aurais pas été professeur par hasard ? Seuls les profs arrivent intuitivement à dire qu'une classe d'une trentaine d'élèves a une bonne chance pour que deux soient nés le même jour. Les profs de maths arrivent même à l'expliquer... en général :D
Exact, mais pas prof de maths!
Pour une probabilité de plus de 50% il faut 23 élèves pour plus de 99% il faut 57 éléves.
En effet soit:
R(n) la probabilité qu'un élève ait le même anniversaire que n éléves ayant des anniversaires différents
E(n) la probabilité qu'il n'ait pas le même anniversaire.
R(n+1)=E(n)*n/365
E(n+1)=E(n)*(365-n)/365=1-R(n)
Probabilité que 2 éléves aient le même anniversaire:
Somme de 1 à n de R(n).
Calculs faits avec Excel
Jackie : heureusement !
Poldar : ce n'est pas le raisonnement que j'avais suivi pour y arriver, mais tu construis la même formule et tu obtiens donc le même résultat. Bravo !
Peux-tu détailler
R(n+1)=E(n)*n/365. J'ai du mal à comprendre le raisonnement qu'il y a derrière :SC'est assez inintuitif comme résultat n'est-ce pas ?
Le raisonnement consiste à ajouter progressivement des éléves et à cumuler l'espérance de gain de chaque étape:
Avec deux éléves on a 1/365 chance qu'ils aient le même anniversaire et donc 364/365 chances d'echec.
En cas d'échec si on rajoute un troisième éléve on aura: 364/ 365*2/365 chance qu'il ait la même date que l'un des deux éléves précédant etc.
Renaud peut donc se rassurer sa femme ne mourra pas sur place avec un effectif de 23 éléves!
Il a en fait répondu au problème suivant: sachant que tous les éléves d'une classe n'ont pas la même date d'anniversaire quel doit être le nombre d'élèves de la classe pour qu'un nouvel élève ait 50% de chance d'avoir le même anniversaire qu'un des éléves de la classe.
Ce qu'il a oublié c'est que la probabilité que les 182 éléves aient des dates de naissance différente est très très faible <<<1/100000
Pour ceux que ça intéresse, il y a une page wikipedia concernant le paradoxe des anniversaires : http://fr.wikipedia.org/wiki/Parado...
OK Poldar. C'est effectivement plus clair comme ça. En plus je n'avais pas vu le 1-R(n) à la fin de la deuxième ligne.
Attention on parle de jour de naissance, pas de date... sinon le problème est sacrément plus compliqué !!!
Oui Colar, je suis tombe dessus par hasard hier. Ça a fortement inspiré l'énigme qu'on m'avait déjà posée en terminale.
Ceci est vrai si l'on considère que les naissances sont réparties uniformément sur l'année, ce qui n'est pas certain.
Le premier lien que je trouve sur google : http://dcobac.free.fr/spip/spip.php...
Donc si la répartition n'est pas uniforme, nous avons donc une probabilité supérieure d'avoir 2 personnes nées le même jour.
C'est une très bonne remarque Toub, mais cela dit, les naissances varient quand même très peu donc je serais bien surpris que ça fasse changer le résultat de plus de 1 ou deux élèves...